根据定义，两个简单函数的和、差与积，以及一个简单函数与常数的积也是简单函数，因此可推出所有简单函数在复数域上形成了一个交换代数。
在积分的理论的发展中，以下的结果是很重要的。任何非负的可测函数
f
:
X
→
R
≥
0
{\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} _{\geq 0}}
都会是单调递增的非负简单函数序列的逐点极限。事实上，设
f
{\displaystyle f}
为定义在测度空间
(
Ω
,
F
,
μ
)
{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mu )}
上的非负可测函数。对于每一个
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
，我们把
f
{\displaystyle f}
的对应域分成
2
2
n
+
1
{\displaystyle 2^{2n}+1}
个区间，其中
2
2
n
{\displaystyle 2^{2n}}
个区间长度为
2
−
n
{\displaystyle 2^{-n}}
（除了
I
n
,
2
2
n
{\displaystyle I_{n,2^{2n}}}
以外，其他区间长度都为
2
−
n
{\displaystyle 2^{-n}}
） 。让
I
n
,
k
=
[
k
2
n
,
k
+
1
2
n
)
,
k
=
0
,
1
,
…
,
2
2
n
−
1
,
{\displaystyle I_{n,k}=\left[{\frac {k}{2^{n}}},{\frac {k+1}{2^{n}}}\right),\;k=0,1,\ldots ,2^{2n}-1,\;\;}
以及
I
n
,
2
2
n
=
[
2
n
,
∞
]
.
{\displaystyle \;\;\;I_{n,2^{2n}}=[2^{n},\infty ].}
定义可测集合
A
n
,
k
=
f
−
1
(
I
n
,
k
)
{\displaystyle A_{n,k}=f^{-1}(I_{n,k})}
，对于
k
=
0
,
1
,
…
,
2
2
n
{\displaystyle k=0,1,\ldots ,2^{2n}}
。则我们定义简单函数
s
n
{\displaystyle s_{n}}
如下
s
n
=
∑
k
=
0
2
2
n
k
2
n
⋅
1
A
n
,
k
{\displaystyle s_{n}=\sum _{k=0}^{2^{2n}}{\frac {k}{2^{n}}}\cdot {\mathbf {1} }_{A_{n,k}}}
如果对每个
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
都构造如此的函数
s
n
{\displaystyle s_{n}}
，则我们得到一组单调递增的简单函数序列
{
s
n
}
{\displaystyle \{s_{n}\}}
，
当
n
→
∞
{\displaystyle n\to \infty }
时，这序列会逐点收敛至
f
{\displaystyle f}
。
注意如果
f
{\displaystyle f}
是有界的，则序列是一致收敛。
这种用简单函数逼近非负函数
f
{\displaystyle f}
的方法，可以用来定义
f
{\displaystyle f}
的勒贝格积分，因为相对来讲，简单函数的积分很好计算。详情请参阅勒贝格积分。