Banach 空间（Banach space，巴拿赫空间）是一类数学中十分常用的函数空间。
目录
1 概念
2 线性算子
3 算子范数
4 开映射定理
5 闭图像定理
6 一致有界定理
7 Hahn-Banach 定理
8 参考资料
概念[]
完备的赋范线性空间是 Banach 空间。
展开例子折叠例子
Hilbert 空间是 Banach 空间，如果 Banach 空间中的范数可以诱导内积（既满足平行四边形法则），那么该空间就是 Hilbert 空间。
Euclid 空间是 Banach 空间。有限维 Hilbert 空间和 Euclid 空间同构。
Lp 空间是 Banach 空间。
Sobolev 空间是 Banach 空间。
线性算子[]
参见线性算子。
线性算子是许多线性运算的推广。线性空间中的线性算子定义为：假设
X
,
Y
{\displaystyle X, Y}
是线性空间，
D
{\displaystyle D}
是
X
{\displaystyle X}
的线性子空间，并假设
T
:
D
→
Y
{\displaystyle T: D \to Y}
是一个映射，如果
T
{\displaystyle T}
满足
T
(
α
x
+
β
y
)
=
α
T
x
+
β
T
y
,
∀
α
,
β
∈
K
,
∀
x
,
y
∈
X
.
{\displaystyle T(\alpha x + \beta y) = \alpha Tx + \beta Ty, \quad \forall \alpha, \beta \in \mathbb{K}, \forall x, y \in X.}
我们就称
T
{\displaystyle T}
是线性算子。
取值于数域上的线性算子称为线性泛函，例如当
Y
=
R
or
C
{\displaystyle Y = \R \text{ or } \C}
分别为实或复线性泛函。赋范线性空间中，线性算子的；连续性和有界性是等价的。
算子范数[]
参见线性算子#算子空间。
算子范数是有限维线性空间中矩阵范数的推广。用记号
L
(
X
,
Y
)
{\displaystyle \mathcal{L}(X, Y)}
表示由
X
{\displaystyle X}
到
Y
{\displaystyle Y}
的有界线性算子的全体，引入算子范数
‖
T
‖
:=
sup
x
∈
X
−
{
θ
}
‖
T
x
‖
‖
x
‖
.
{\displaystyle \| T \| := \sup_{x \in X - \{ \theta \}} \dfrac{\| Tx \|}{\| x \|}.}
特别地，如果
X
,
Y
{\displaystyle X, Y}
是赋范线性空间，而
Y
{\displaystyle Y}
是完备的，规定
L
(
X
,
Y
)
{\displaystyle \mathcal{L}(X, Y)}
上的线性运算
(
α
T
1
+
β
T
2
)
(
x
)
=
α
T
1
(
x
)
+
β
T
2
(
x
)
,
∀
x
∈
X
.
{\displaystyle (\alpha T_1 + \beta T_2) (x) = \alpha T_1(x) + \beta T_2(x), \forall x \in X.}
那么
(
L
(
X
,
Y
)
,
‖
⋅
‖
)
{\displaystyle (\mathcal{L}(X, Y), \| \cdot \|)}
是 Banach 空间。
L
(
X
,
X
)
{\displaystyle \mathcal{L}(X, X)}
也可简写为
L
(
X
)
{\displaystyle \mathcal{L}(X)}
或另记为
X
∗
{\displaystyle X^*}
，被称为对偶空间或共轭空间。
开映射定理[]
参见开映射定理。
（逆算子定理）假设
X
,
Y
{\displaystyle X, Y}
是 Banach 空间，
T
:
X
→
Y
{\displaystyle T: X \to Y}
是可逆的连续线性算子，那么
T
−
1
{\displaystyle T^{-1}}
也是连续线性算子。
（开映射定理）一般地，如果仅假设
T
{\displaystyle T}
是连续的满线性算子，那么
T
{\displaystyle T}
将开集映为开集，即
f
{\displaystyle f}
是开映射。
上述定理中可以将连续性弱化为闭性。
从另一个角度来看，
开映射定理的结论等价于存在一个常数
c
>
0
{\displaystyle c > 0}
使得
T
(
B
X
(
0
,
1
)
)
⊃
B
Y
(
0
,
c
)
.
{\displaystyle T(B_X(0, 1)) \supset B_Y(0, c).}
关于这个定理/命题的证明，单击这里以显示/折叠必要性显然，我们来说明充分性，假设
U
{\displaystyle U}
是
X
{\displaystyle X}
中的开集，对任意固定的一个点
y
0
∈
T
(
U
)
{\displaystyle y_0 \in T(U)}
，我们要证明存在开球
B
(
x
0
,
r
)
⊂
T
(
U
)
{\displaystyle B(x_0, r) \subset T(U)}
，显然存在
x
0
∈
U
{\displaystyle x_0 \in U}
使得
y
0
=
T
x
0
{\displaystyle y_0 = Tx_0}
，取
x
0
{\displaystyle x_0}
在
U
{\displaystyle U}
中的一个开球
B
(
x
0
,
s
)
{\displaystyle B(x_0, s)}
，我们有
T
(
B
(
x
0
,
s
)
)
=
T
(
x
0
+
s
B
(
0
,
1
)
)
=
y
0
+
s
T
(
B
(
0
,
1
)
)
⊃
y
0
+
s
B
(
0
,
c
)
=
B
(
y
0
,
s
c
)
.
{\displaystyle T(B(x_0, s)) = T(x_0 + sB(0, 1)) = y_0 + sT(B(0, 1)) \supset y_0 + sB(0, c) = B(y_0, sc).}
令
r
=
s
c
{\displaystyle r = sc}
即得结论。
我们指出开映射定理蕴含逆算子定理，这样我们只需证明开映射定理即可。
假设
X
,
Y
{\displaystyle X, Y}
是 Banach 空间，
T
:
X
→
Y
{\displaystyle T: X \to Y}
是既单又满的连续线性算子，那么
T
−
1
{\displaystyle T^{-1}}
也是连续线性算子。关于这个定理/命题的证明，单击这里以显示/折叠由#推论3，如果对
x
∈
X
{\displaystyle x \in X}
成立
‖
T
x
‖
<
c
{\displaystyle \| Tx \| < c}
，那么
‖
x
‖
<
1
{\displaystyle \| x \| < 1}
，于是
‖
x
‖
⩽
c
−
1
‖
T
x
‖
.
{\displaystyle \| x \| \leqslant c^{-1} \| Tx \|.}
由于
T
{\displaystyle T}
是双射，那么对任意
y
∈
Y
{\displaystyle y \in Y}
存在唯一的
x
=
T
−
1
y
{\displaystyle x = T^{-1}y}
，这样
‖
T
−
1
‖
=
sup
y
∈
Y
‖
T
−
1
y
‖
‖
y
‖
=
sup
x
∈
X
‖
x
‖
‖
T
x
‖
⩽
1
c
.
{\displaystyle \| T^{-1} \| = \sup_{y \in Y} \dfrac{\| T^{-1} y \|}{\| y \|} = \sup_{x \in X} \dfrac{\| x \|}{\| Tx \|} \leqslant \dfrac{1}{c}.}
闭图像定理[]
参见闭图像定理。
假设
X
,
Y
{\displaystyle X, Y}
是赋范线性空间，
A
:
D
(
A
)
⊂
X
→
Y
{\displaystyle A: D(A) \subset X \to Y}
是一个线性算子，如果对任意定义域
D
(
A
)
{\displaystyle D(A)}
中的点列
{
x
n
}
{\displaystyle \{ x_n \}}
，由
lim
n
→
∞
x
n
=
x
{\displaystyle \lim_{n \to \infty} x_n = x}
以及
lim
n
→
∞
A
x
n
=
y
{\displaystyle \lim_{n \to \infty} Ax_n = y}
可以得到
x
∈
D
(
A
)
,
y
=
A
x
.
{\displaystyle x \in D(A), y = Ax.}
对闭算子来说，开映射定理依然成立。连续性和闭性之间的关系由闭图像定理保证。
假设
X
{\displaystyle X}
是赋范线性空间，
Y
{\displaystyle Y}
是 Banach 空间，线性算子
T
:
X
→
Y
{\displaystyle T: X \to Y}
是连续的，那么存在连续线性算子
T
1
:
D
(
T
)
¯
→
Y
{\displaystyle T_1 : \overline{D(T)} \to Y}
使得
T
1
|
D
(
T
)
=
T
,
‖
T
1
‖
=
‖
T
‖
.
{\displaystyle T_1|_{D(T)} = T, \| T_1 \| = \| T \|.}
这表明，连续线性算子可以做延拓，且它在定义域的闭包中是闭的。但是一般来说闭线性算子不一定是连续的，但是有如下的闭图像定理。
一致有界定理[]
参见共鸣定理。
假设
X
{\displaystyle X}
是 Banach 空间，
Y
{\displaystyle Y}
是赋范线性空间，
W
=
{
T
λ
:
X
→
Y
|
λ
∈
Λ
}
{\displaystyle W = \{ T_\lambda: X \to Y| \lambda \in \varLambda \}}
是一组连续线性算子，如果它满足
sup
T
∈
W
‖
T
x
‖
<
+
∞
,
∀
x
∈
X
.
{\displaystyle \sup_{T \in W} \| Tx \| < + \infty, \quad \forall x \in X.}
那么
W
{\displaystyle W}
是一致有界的，即存在正常数
M
>
0
{\displaystyle M > 0}
满足
‖
T
‖
⩽
M
,
∀
T
∈
W
.
{\displaystyle \| T \| \leqslant M, \forall T \in W.}
这件事情的逆否命题是说如果
sup
T
∈
W
‖
T
‖
=
+
∞
{\displaystyle \sup_{T \in W} \| T \| = +\infty}
，那么存在
x
0
∈
X
{\displaystyle x_0 \in X}
使得
sup
T
∈
W
‖
T
x
0
‖
=
+
∞
.
{\displaystyle \sup_{T \in W} \| Tx_0 \| = + \infty.}
因此形象地称为共鸣定理。
这个定理的结论相当让人振奋，它给出了一个“点态收敛可以导出全局一致收敛”的结果。
Hahn-Banach 定理[]
参见 Hahn-Banach 定理。
在赋范线性空间中，Banach 空间有更好的性质：假设
X
{\displaystyle X}
是赋范线性空间，
X
0
{\displaystyle X_0}
是
X
{\displaystyle X}
的子空间，
f
0
{\displaystyle f_0}
是
X
0
{\displaystyle X_0}
上的有界线性泛函，则在
X
{\displaystyle X}
上存在有界线性泛函
f
{\displaystyle f}
满足：
保范条件：
‖
f
‖
=
‖
f
0
‖
0
.
{\displaystyle \|f\| = \| f_0 \|_0.}
延拓条件：
∀
x
∈
X
0
,
f
(
x
)
=
f
0
(
x
)
.
{\displaystyle \forall x \in X_0, f(x) = f_0(x).}
一般我们称
f
{\displaystyle f}
是
f
0
{\displaystyle f_0}
的保范延拓。
凸集分离定理是该定理的几何形式。
参考资料张恭庆, 林源渠, 《泛函分析讲义（上册）（第二版）》, 高等教育出版社, 北京, 2021-01, ISBN 978-7-3013-0964-3.
函数空间（学科代码：1105730，GB/T 13745—2009）
距离空间
度量空间 ▪ 完备度量空间 ▪ 完备化空间 ▪ 列紧空间 ▪ Hausdorff 定理 ▪ Arzela-Ascoli 定理
函数空间
准范数 ▪ 半范数 ▪ Banach 函数空间
常见例子
连续函数空间 ▪ 可积函数空间 ▪ Lp 空间 ▪ Lorentz 空间 ▪ 解析函数空间 ▪ S 空间 ▪ Lipschitz 空间 ▪ Hölder 空间 ▪ Sobolev 空间 ▪ 齐次 Sobolev 空间 ▪ Bessel 位势空间 ▪ Besov 空间 ▪ 齐次 Bessel 位势空间 ▪ 齐次 Besov 空间
Orlicz 空间
Φ 函数（逆、共轭、广义、弱等价、权条件） ▪ Musielak-Orlicz 空间（Lp 嵌入、一致凸性、一般嵌入定理、极大算子、恒等逼近、相关空间、示性函数） ▪ Musielak-Orlicz-Sobolev 空间
所在位置：数学（110）→ 泛函分析（11057）→ 函数空间（1105730）